GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Torricelli-Prinzip</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Torricelli-Prinzip</h1>

</header>

</div>

Das Torricelli-Prinzip ist eine grundlegende Aussage der <a href="Statik_(Mechanik)" title="Statik (Mechanik)">Statik (Mechanik)</a> von Massensystemen. Die Höhenlage des <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunktes</a> eines zusammengesetzten Systems von <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">schweren</a> Körpern befindet sich demnach immer in einem <a href="Station%C3%A4rer_Vorgang" title="Stationärer Vorgang">stationären</a> Zustand, wenn <a href="Mechanisches_Gleichgewicht" title="Mechanisches Gleichgewicht">Gleichgewicht</a> zwischen den Körpern besteht.<a href="#cite_note-GH-1">[1]</a><a href="#cite_note-GH2-2">[2]</a>

Benannt wurde das Prinzip nach dem Naturforscher <a href="Evangelista_Torricelli" title="Evangelista Torricelli">Evangelista Torricelli</a>, der dessen logische Unabhängigkeit erstmals klar formulierte.<a href="#cite_note-RD-3">[3]</a><a href="#cite_note-PD-4">[4]</a>

Das Prinzip von Torricelli ist eine unmittelbare Folgerung aus dem <a href="Virtuelle_Arbeit" title="Virtuelle Arbeit">Prinzip der virtuellen Arbeit</a>, angewendet auf Mehrkörpersysteme im <a href="Schwerepotential" class="mw-redirect" title="Schwerepotential">Schwerepotential</a>. Aus diesem Grund wird es in heutigen Lehrbüchern zur Mechanik kaum noch erwähnt. Für die Entwicklung der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a> hatte es hingegen entscheidenden Einfluss. So wurde es etwa in der dynamischen Erweiterung durch <a href="Christiaan_Huygens" title="Christiaan Huygens">Huygens</a> gleichbedeutend mit der Aussage des mechanischen <a href="Energieerhaltungssatz#Energieerhaltungssatz_in_der_Newtonschen_Mechanik" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatzes</a> für Mehrkörpersysteme gebraucht.<a href="#cite_note-JLL-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ursprüngliche_Motivation_und_Entwicklung">Ursprüngliche Motivation und Entwicklung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_Formulierung_am_Fallbeispiel_der_schiefen_Ebene">Die Formulierung am Fallbeispiel der schiefen Ebene</h3></div>

In seiner Mechanikschrift De motu gravium naturaliter descendentium, et proiectorum (Von der Bewegung schwerer Körper, die auf natürliche Weise herunterfallen oder geworfen werden) von 1644 greift Torricelli den Beweis seines Lehrers <a href="Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a> aus dem dritten Tag der berühmten <a href="Discorsi_e_dimostrazioni_matematiche" title="Discorsi e dimostrazioni matematiche">Discorsi</a> (1638) auf.<a href="#cite_note-GG-6">[6]</a> Galilei beweist, exemplarisch für alle <a href="Einfache_Maschine" title="Einfache Maschine">einfachen Maschinen</a>, die Erhaltung der verrichteten Arbeit an der <a href="Schiefe_Ebene" title="Schiefe Ebene">schiefen Ebene</a>.

Galileis Begründung verwendet dabei dynamische Voraussetzungen, die über die Statik des Systems hinausgehen.

Ein Hauptanliegen Torricellis war es, die notwendige Voraussetzung der bleibenden Schwerpunktshöhe deutlich hervorzuheben, um dann über virtuelle Verschiebungen den Beweisgang statisch umzuformulieren und von den kinetischen Annahmen zu trennen.<a href="#cite_note-ET-7">[7]</a> In diesem Sinne schließt Torricellis Prinzip (nach Pierre Duhem) eine lange Tradition ab, die bis in die scholastische Statik zurückgeht.<a href="#cite_note-PD-4">[4]</a><a href="#cite_note-8">[Anm. 1]</a>

Der Deduktionsweg zur Erhaltung der Arbeit lässt sich in heutiger Lehrbuchform betrachten (1), um danach das ursprüngliche Vorgehen von Galilei (2) und im Anschluss Torricellis Idee (3) der gleichbleibenden Schwerpunkthöhe zu veranschaulichen. Alle drei Beweise laufen auf dieselbe Gleichgewichtsbedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{A}\cdot \sin \alpha =m_{B}\cdot \sin \beta }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}\cdot \sin \alpha =m_{B}\cdot \sin \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb2026ae1bbc93f93b9813282d0a4268bc8adb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m_{A}\cdot \sin \alpha =m_{B}\cdot \sin \beta }" loading="lazy"> hinaus, was anzeigt, dass die Überlegungen richtig sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Beweis_aus_dem_Prinzip_der_virtuellen_Arbeit_(1)">Der Beweis aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit (1)</h3></div>

Nach der analytischen Vorgehensweise, wie sie <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">J. L. Lagrange</a> geprägt hat, wird das <a href="Virtuelle_Arbeit" title="Virtuelle Arbeit">Prinzip der virtuellen Arbeit</a> auf zwei reibungsfrei aufgesetzte Körper A und B an der schiefen Ebene aus der Abbildung <a href="#Abb.GeometrischeAnordnung">Geometrische Anordnung</a> angewendet, wobei die Massen verschieden sein können (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{A}\neq m_{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}\neq m_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a3be22aad22cf1f7d0597b546c8cf24fa6ed57e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.124ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle m_{A}\neq m_{B}}" loading="lazy">).<a href="#cite_note-GH-1">[1]</a> Die Körper werden um die gleiche Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a28942b162bd8425f3c4e1fa4a974c9d41bd84a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.139ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta s}" loading="lazy"> in Ebenenrichtung virtuell verschoben, unter Aufwendung der eingeprägten Kräfte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{A},F_{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{A},F_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d15beb9305670a1f988461e2413c5b1f186d2367.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.968ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{A},F_{B}}" loading="lazy">. Das Prinzip der virtuellen Arbeit besagt für diesen Fall

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W=F_{A}\cdot \delta s-F_{B}\cdot \delta s=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1155cc8f975608ad6bd1fc2b709dfaed06373c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:27.901ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta W=F_{A}\cdot \delta s-F_{B}\cdot \delta s=0.}" loading="lazy"><a href="#cite_note-9">[Anm. 2]</a></dd></dl>

Die geometrische Zerlegung der Kräfte in tangentiale Komponenten der eingeprägten Gewichtskräfte (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\cdot m_{A},g\cdot m_{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\cdot m_{A},g\cdot m_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7321b1b869c27c5a4f8732628dd1cedeb989acc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.649ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g\cdot m_{A},g\cdot m_{B}}" loading="lazy">) ergibt daraus

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W=g\cdot {\bigl (}m_{A}\cdot \sin \alpha -m_{B}\cdot \sin \beta {\bigr )}\cdot \delta s=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a13f06429b5bfd30bccf54e2f019b056a8b961b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.762ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \delta W=g\cdot {\bigl (}m_{A}\cdot \sin \alpha -m_{B}\cdot \sin \beta {\bigr )}\cdot \delta s=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Gleichgewicht tritt also ein, wenn die Bedingung

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {m_{A}}{m_{B}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}~~~}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f1820fc3e6460ab06ca968740c51207e7b09716.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:14.763ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {m_{A}}{m_{B}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}~~~}" loading="lazy"> erfüllt ist.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_dynamische_Beweis_nach_Galilei_(2)">Der dynamische Beweis nach Galilei (2)</h3></div>

Galilei ging von anderen begrifflichen Voraussetzungen aus, die aber zu demselben Ergebnis führen. Er behauptet zunächst, dass

<dl><dd>beide Körper A und B dasselbe Moment zum Hinabsteigen innehaben.<a href="#cite_note-10">[Anm. 3]</a></dd></dl>

Beide Körper würden dadurch beim Herunterrollen von der Dreieckspitze dieselbe Endgeschwindigkeit erhalten. Das heißt, für Galilei ist dieses Moment eine Erhaltungsgröße. Die Behauptung entspricht sinngemäß der mechanischen <a href="Energieerhaltungssatz#Energieerhaltungssatz_in_der_Newtonschen_Mechanik" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltung</a>.

Um das zu beweisen, betrachtet Galilei direkt die Kraftwirkungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{A},F_{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{A},F_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d15beb9305670a1f988461e2413c5b1f186d2367.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.968ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{A},F_{B}}" loading="lazy"> an den schiefen Ebenen (<a href="#Abb.Galilei">Abb.</a>), wobei er ursprünglich nur auf den Spezialfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{B}=F_{G},\beta =90^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{B}=F_{G},\beta =90^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/776fb7835c40686561e0ca99151b70f5f131f9c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.935ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle F_{B}=F_{G},\beta =90^{\circ }}" loading="lazy"> eingeht.<a href="#cite_note-GG-6">[6]</a>

Er geht nun von folgenden Annahmen aus:

<ul><li>Prinzip der Kraftzerlegung: Jede Kraft lässt sich in ihren horizontalen und vertikalen Anteil zerlegen, die voneinander unabhängig sind.</li>

<li>Trägheitsprinzip: Der horizontale Anteil kann weder einen Widerstand noch einen Antrieb zum hinabsteigenden Moment abgeben. Der Körper ruht oder bewegt sich auf der Horizontalen gleichmäßig fort.</li>

<li>Damit kann Galilei erklären, dass das bewegende Moment zum Heruntersinken nur von der vertikal einwirkenden Gewichtskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{G}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c234c7b1eda81c8c8e64de6b6e8f908a2bbe5b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.019ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{G}}" loading="lazy"> abhängig ist. Entsprechend vergleicht er bei der Untersuchung der Gleichgewichtsbedingung nur die jeweils vertikalen Weganteile <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta h_{A},\Delta h_{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta h_{A},\Delta h_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7d5b567d6ef4361a9b11123aff4f9be118594a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.528ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta h_{A},\Delta h_{B}}" loading="lazy"> miteinander.</li>

<li>Bei Erzeugen der jeweils virtuellen Bewegungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd7e11c9eeacc5b5a590702ebf9067f68546d6c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.176ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta v}" loading="lazy"> müssen A und B sich die vertikalen Kräfte umgekehrt verhalten wie die zurückgelegten Höhen:</li></ul>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {m_{A}}{m_{B}}}={\frac {\Delta h_{B}}{\Delta h_{A}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a55ada909dca91caeb8743958bac95adb78a3e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.71ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {m_{A}}{m_{B}}}={\frac {\Delta h_{B}}{\Delta h_{A}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-EM-11">[8]</a><a href="#cite_note-12">[9]</a></dd></dl>

Das entspricht im Übrigen derselben Erhaltung der verrichteten Arbeit an der schiefen Ebene, auch <a href="Goldene_Regel_der_Mechanik" title="Goldene Regel der Mechanik">Goldene Regel der Mechanik</a> genannt:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{A}\cdot \Delta h_{A}=F_{B}\cdot \Delta h_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b74343e02ab9b9f79d0838180a60f38cdd7a67e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.884ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{A}\cdot \Delta h_{A}=F_{B}\cdot \Delta h_{B}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Übergang:_Galileis_Begründung_des_Trägheitsprinzips">Übergang: Galileis Begründung des Trägheitsprinzips</h3></div>

Beachtlich ist, dass Galilei in der Beweisversion seiner Discorsi<a href="#cite_note-GG-6">[6]</a> das <a href="Tr%C3%A4gheitsprinzip" class="mw-redirect" title="Trägheitsprinzip">Trägheitsprinzip</a> nicht nur klar benennt, sondern auch eine Begründung dafür einbaut, die in direkter Verbindung zur scholastischen Tradition steht.

In horizontaler Richtung kann demnach kein Widerstand und daher keine Bewegungsänderung auftreten, weil der gemeinsame Schwerpunkt an allen Stellen denselben Höhenabstand zum allgemeinen Mittelpunkt aller schweren Körper hat, worunter man damals den Erdmittelpunkt verstand.<a href="#cite_note-13">[Anm. 4]</a> Wenn sich also das Massensystem nicht auf natürlichem Wege dem Mittelpunkt annähern lässt, wie es auf horizontaler Ebene der Fall ist, dann gibt es auch kein bewegendes Moment des Körpers.

„Und tatsächlich, ebenso wie es unmöglich ist, dass sich ein schwerer Körper oder eine Gesamtheit von schweren Körpern von Natur aus in die Höhe bewegt und sich dabei vom allgemeinen Mittelpunkt [centro commune] entfernt, wohin alle schweren Dinge hinstreben, genauso ist es unmöglich, dass er sich spontan bewegt, wenn sich nicht gerade sein Schwerpunkt bei seiner Bewegung dem allgemeinen Mittelpunkt annähert. Somit wird auf der Horizontalen, die sich über eine Oberfläche erstreckt, die gleichermaßen weit vom besagten Mittelpunkt [der Schwere] entfernt ist und die auch ohne jede Neigung ist, der Impetus oder das Moment des Bewegten null sein.“

</blockquote>

</div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261921330">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style>G. Galilei.<a href="#cite_note-14">[10]</a></div></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_statische_Beweis_nach_Torricelli_(3)">Der statische Beweis nach Torricelli (3)</h3></div>

Torricelli greift die Konstruktion seines Lehrers Galilei genauso auf und beweist dieselbe Proposition, dass beide Körper A und B an der schiefen Ebene dasselbe Moment innehaben.<a href="#cite_note-ET-7">[7]</a><a href="#cite_note-DC-15">[11]</a>

Hierbei sondert er das für die Statik Wesentliche des Galileischen Beweises ab und begreift im gleichen Zuge das <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Moment</a> statisch und den gesamten Beweisgang geometrisch, getrennt von den dynamischen Merkmalen (siehe Abbildungen <a href="#Abb.Torricelli">Torricelli</a> rechts und <a href="#Abb.GeometrischeAnordnung">Geometrische Anordnung</a> oben). Als Voraussetzung formuliert Torricelli sein Prinzip im Original so:

„Voraussetzung: Zwei schwere, miteinander zugleich verbundene Körper lassen sich von selbst nicht bewegen, wenn nicht ihr gemeinsamer Schwerpunkt sinkt.“

</blockquote>

</div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– E. Torricelli<a href="#cite_note-16">[12]</a></div></div>

Anschließend führt Torricelli eine virtuelle Verschiebung durch, um damit auf einen <a href="Reductio_ad_absurdum" title="Reductio ad absurdum">indirekten Beweis</a> der Behauptung zu kommen.

<ul><li>Gegenannahme: Es bestehen ungleiche Momente zwischen den Körpern A, B. Das versetze beide um die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta s=|AE|=|BD|}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta s=|AE|=|BD|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5f44bd6a71cf245ffd4a222b667bcee1a45d324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.13ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta s=|AE|=|BD|}" loading="lazy">. Dann trete wieder ein Gleichgewicht ein.</li>

<li>Geometrische Folgerung: Durch die Versetzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a28942b162bd8425f3c4e1fa4a974c9d41bd84a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.139ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta s}" loading="lazy"> verschiebt sich offenbar auch der Schwerpunkt G. Er muss aber auf der Horizontalen an der Stelle G‘ bleiben. Denn der Schwerpunkt wird als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{s}={\frac {x_{A}\cdot m_{A}+x_{B}\cdot m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}={\frac {M_{A}+M_{B}}{m_{A}+m_{B}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{s}={\frac {x_{A}\cdot m_{A}+x_{B}\cdot m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}={\frac {M_{A}+M_{B}}{m_{A}+m_{B}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53ab8ba63382f65e93184277e09de8867a0a06e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:39.332ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle h_{s}={\frac {x_{A}\cdot m_{A}+x_{B}\cdot m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}={\frac {M_{A}+M_{B}}{m_{A}+m_{B}}}}" loading="lazy"> für diesen Zweikörper-Fall definiert. Hier nutzt Torricelli die Ähnlichkeit der Dreiecke, um die gleichen Momenten-Anteile zu Punkt G‘ zu belegen. Es gilt offenbar</li></ul>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {|AE|}{|EF|}}={\frac {|G\,'D|}{|EG\,'|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bda1c1957080e26eec68eaf2f1df508fc9ea4b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.7ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {|AE|}{|EF|}}={\frac {|G\,'D|}{|EG\,'|}}}" loading="lazy">, wobei die Strecke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |EF|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |EF|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e6c4d19fd7317f1410e3bb759028b7caebba748.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |EF|}" loading="lazy"> der Last entspricht, welche Körper A von Körper B auf der schiefen Ebene halten muss.</dd></dl></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17f745582de4264acfc217c152cc23c121bf1944.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.711ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \,}" loading="lazy">Widerspruch zur Annahme:

<dl><dd>Dasselbe Verhältnis bringt die Erhaltung der (statischen) Momente zu Punkt G‘ zum Ausdruck:</dd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |AE|\cdot |EG\,'|=|EF|\cdot |G\,'D|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cbe3f2582d18c0a4f1bf2946ac70f724b06ed4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.163ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |AE|\cdot |EG\,'|=|EF|\cdot |G\,'D|}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{A}=M_{B}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{A}=M_{B}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21802560a5e533d6416bb24264c3e47a57786fa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.551ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{A}=M_{B}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

Wenn also G‘ nicht sinkt, dann muss nach Torricellis Voraussetzung, seinem vorangehenden Prinzip, Gleichgewicht bestehen.

Im Übrigen ergibt sich dieselbe Gleichgewichtsbeziehung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}\cdot \sin \alpha =m_{B}\cdot \sin \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb2026ae1bbc93f93b9813282d0a4268bc8adb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m_{A}\cdot \sin \alpha =m_{B}\cdot \sin \beta }" loading="lazy">, wenn wieder die ganzen Momente senkrecht zur Horizontalen betrachtet werden (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}\perp g\cdot m_{i},\,i\in \{A,B\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}\perp g\cdot m_{i},\,i\in \{A,B\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b359f97ee54a5fbef0f483431049d120bc75fe5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{i}\perp g\cdot m_{i},\,i\in \{A,B\}}" loading="lazy">).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Formulierung">Allgemeine Formulierung</h2></div>

Eine Menge von Massenelementen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dm_{i},i\in \{1,...n\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dm_{i},i\in \{1,...n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c69fd7a9d596c1c3d4090c3a94c135d365815eed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.751ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle dm_{i},i\in \{1,...n\}}" loading="lazy"> sind durch gewisse <a href="Zwangsbedingung" title="Zwangsbedingung">Zwangsbedingungen</a> voneinander in ihren Bewegungen abhängig. Auf jedes einzelne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dm_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dm_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41086e7276ae2888fc29dd367ec4b452277da3ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.056ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle dm_{i}}" loading="lazy"> dieses Massensystems wirke von außen nur die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dF_{G,i}=dm_{i}\cdot g}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dF_{G,i}=dm_{i}\cdot g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56423a149186d271d192b066ae1977e52d8eb194.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.209ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle dF_{G,i}=dm_{i}\cdot g}" loading="lazy"> ein. Dadurch unterliegt das Massensystem dem <a href="Virtuelle_Arbeit" title="Virtuelle Arbeit">Prinzip der virtuellen Arbeit</a> in der Form

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W=\delta \left(dF_{G}\cdot ds\right)=\delta \,{\bigl (}\int dm\,g\cdot ds{\bigr )}\leq 0~~}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/150289ca61a4301bb01a212b2deb2d22f1c7e1e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:41.846ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \delta W=\delta \left(dF_{G}\cdot ds\right)=\delta \,{\bigl (}\int dm\,g\cdot ds{\bigr )}\leq 0~~}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\rightarrow \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\rightarrow \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.333ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle n\rightarrow \infty }" loading="lazy">).</dd></dl>

In Worten verrichtet das Massensystem im <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservativen Schwerekraftfeld</a> keine Arbeit und befindet sich im statischen Gleichgewicht.<a href="#cite_note-GH-1">[1]</a><a href="#cite_note-17">[Anm. 5]</a>

Da nach Voraussetzung ein <a href="Schwerepotential" class="mw-redirect" title="Schwerepotential">Schwerepotential</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{G}=-{\frac {d}{ds}}U}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{G}=-{\frac {d}{ds}}U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb93883408c15b3aea6a059907d2d960464f0bcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.85ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle F_{G}=-{\frac {d}{ds}}U}" loading="lazy"> existiert, die aufgebrachte Arbeit wegunabhängig ist, wählt man den direkten Integrationsweg der Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy">. Es folgt

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W=\delta \left(-{\frac {d}{ds}}\left(U\right)\cdot ds\right)\leq 0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73adacc34f02eb3f02f3e5dd77e7816432c9a987.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.262ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \delta W=\delta \left(-{\frac {d}{ds}}\left(U\right)\cdot ds\right)\leq 0.}" loading="lazy"></dd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\delta \left({\frac {d}{ds}}(\int dm\,g\cdot h)\cdot ds\right)\leq 0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c9946a73ea523f5fd01187171cd7559c601adec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.868ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle -\delta \left({\frac {d}{ds}}(\int dm\,g\cdot h)\cdot ds\right)\leq 0.}" loading="lazy"></dd></dl>

In diesem Fall entspricht der Variationsausdruck einem <a href="Totales_Differential" title="Totales Differential">vollständigen Differential</a>, so dass bei Ausdifferenzieren nur die Höhe einen Beitrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fa3bd11995e996e9da521e70b3feabceaee5d22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.616ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \neq 0}" loading="lazy"> hervorbringt. Es folgt somit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -(\int dmg\cdot \delta h)\leq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5f7822885f134177146dba618fdda0be1fffca4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.898ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle -(\int dmg\cdot \delta h)\leq 0}" loading="lazy">,</dd></dl>

und da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{s}={\frac {1}{\mathcal {M}}}\int dm\,g\cdot h}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{s}={\frac {1}{\mathcal {M}}}\int dm\,g\cdot h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/695cc17e6c26c4f470254140a6fbde50d2cdf903.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.813ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle h_{s}={\frac {1}{\mathcal {M}}}\int dm\,g\cdot h}" loading="lazy"> den Körperschwerpunkt definiert, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {M}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cc2abebd45ec020509a0ec548b67c9a2cb7cecd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.791ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {M}}}" loading="lazy"> die Gesamtmasse sei, so entspricht dies der Aussage

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\delta h_{s}\leq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0cc52d391e8a7d0c157502cdcbe003757281324.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.46ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle -\delta h_{s}\leq 0}" loading="lazy">, und nur für den stationären Fall genommen</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,\,~~\delta h_{s}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/050a7c29349995d17cb599ae4993931c05d72e9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.587ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \,\,~~\delta h_{s}=0}" loading="lazy">, folgt wiederum das Torricelli-Prinzip.</dd></dl>

In Worte gefasst, verrichtet das Massensystem dann keine virtuelle Arbeit und befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn der Schwerpunkt einen stationären Zustand (d. i. eine minimale oder maximale Höhenlage) einnimmt.<a href="#cite_note-GH2-2">[2]</a>

Im Übrigen enthält diese Aussage auch die Zweikörper-Statik an der schiefen Ebene. Aus der Deduktion [II] oben ergibt sich direkt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{A}\cdot \Delta h_{A}+m_{B}\cdot (-\Delta h_{B})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99032d299d6f5e91aa2056088a81720dbaa37e9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.596ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m_{A}\cdot \Delta h_{A}+m_{B}\cdot (-\Delta h_{B})=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

was wiederum die stationäre Schwerpunkt-Aussage wiedergibt:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{m_{A}+m_{B}}}\cdot \left(m_{A}\cdot \Delta h_{A}+m_{B}\cdot (-\Delta h_{B})\right)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfa1cf2c64c72622b4fd10881018075597db9251.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:41.427ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{m_{A}+m_{B}}}\cdot \left(m_{A}\cdot \Delta h_{A}+m_{B}\cdot (-\Delta h_{B})\right)=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

oder anders gesagt: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta h_{S}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta h_{S}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98ecf37f48e4cd82c95429b83d71caeff8f224c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.828ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta h_{S}=0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Huygens‘_dynamische_Erweiterung">Huygens‘ dynamische Erweiterung</h2></div>

Von <a href="Christiaan_Huygens" title="Christiaan Huygens">Christiaan Huygens</a> stammt eine Erweiterung des Torricelli-Prinzips auf bewegte Körpersysteme. Er geht davon aus, dass für ein freies Massensystem der Schwerpunkt von selbst wieder auf dieselbe Höhe gelangen kann, aus der er heruntergefallen ist.<a href="#cite_note-JLL-5">[5]</a> In Huygens‘ eigenen Worten:

„Hypothese I. – Wenn eine Anzahl bestimmter Gewichte anfängt, sich vermöge ihrer eigenen Schwerkraft zu bewegen, so kann der gemeinsame Schwerpunkt nicht höher steigen als zu der Höhe, in welcher er zu Beginn seiner Bewegung vorgefunden wurde.“

</blockquote>

</div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– C. Huygens<a href="#cite_note-18">[13]</a></div></div>

Mit diesem Prinzip<a href="#cite_note-19">[Anm. 6]</a> gelang es Huygens, entscheidende Theoreme zur Stoß- und Schwingungsmechanik zu beweisen. Huygens‘ allgemeine Lösung zum <a href="Sto%C3%9Fmittelpunkt" title="Stoßmittelpunkt">Schwingungsmittelpunkt</a> basiert darauf (siehe Abb. <a href="#Abb.Huygens">Huygens</a>). Der Erhaltungsgedanke der Schwerpunktsenergie wird hierin zum Ausdruck gebracht.<a href="#cite_note-ED-20">[14]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2></div>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Ernst_Mach" title="Ernst Mach">Ernst Mach</a> bemerkt aber, dass bei aller Klärung durch Torricelli gegenüber Galileis Behandlung dem physikalischen Inhalt nichts hinzugefügt wurde (siehe die Textstelle des Einzelnachweises E. Mach).

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Man beachte, dass das Minuszeichen im zweiten Term aus der relativen Richtungsumkehr resultiert. D.h. der zweite Term lautet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +F_{B}\cdot (-\delta s)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +F_{B}\cdot (-\delta s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af17a291d6c41a83afab59654f0caa6507bdb210.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle +F_{B}\cdot (-\delta s)}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Dieser Ausdruck ist bei Galilei neuartig und stellt, wie schon Lagrange (siehe den Einzelnachweis zu Lagrange) bemerkte, eine konzeptuelle Erweiterung gegenüber der Tradition dar. Dieses ‚Moment‘ (ital. momento del discendere) entspricht der heutigen Größe der Arbeit W. Es wird von ihm an einigen Stellen auch ‚Impetus‘ (impeto) und ‚Energie‘ (energia) genannt.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Heute würde man sagen, der gemeinsame Schwerpunkt bewege sich auf einer <a href="%C3%84quipotentialfl%C3%A4che" title="Äquipotentialfläche">Äquipotentialfläche</a>. Daher ändert sich das Potential bezogen auf den allgemeinen Schwerpunkt nicht.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Dabei bringt der Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta W<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e495a78e425dafabf612b71d50a744c091de6f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.745ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta W<0}" loading="lazy"> die einseitige Bindung des Systems zum Ausdruck: Gegen die Richtung der Schwerkraft kann das System durch (virtuelle) Arbeit bzw. durch äußere Einwirkung angehoben werden.

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> In älterer Literatur wurde dieses Prinzip der Mechanik auch Huygenssches Prinzip genannt, ist aber nicht zu verwechseln mit dem <a href="Huygenssches_Prinzip" title="Huygenssches Prinzip">gleichnamigen Prinzip</a> aus der <a href="Wellenoptik" title="Wellenoptik">Wellenoptik</a>.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-GH-1">↑ <a href="#cite_ref-GH_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-GH_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-GH_1-2">c</a> <a href="Georg_Hamel" title="Georg Hamel">Georg Hamel</a>: Theoretische Mechanik. Springer, Berlin / Heidelberg 1967, S. 77 (dort §4: Das Prinzip der virtuellen Arbeiten).

</li>

<li id="cite_note-GH2-2">↑ <a href="#cite_ref-GH2_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-GH2_2-1">b</a> <a href="Georg_Hamel" title="Georg Hamel">Georg Hamel</a>: Elementare Mechanik. Teubner, Leipzig / Berlin 1912, S. 473 Nr. 315 (Das Toricellische Prinzip), in §54: Das Prinzip der virtuellen Arbeiten. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/elementaremecha00hamegoog/page/473/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a>.

</li>

<li id="cite_note-RD-3"><a href="#cite_ref-RD_3-0">↑</a> <a href="Ren%C3%A9_Dugas" title="René Dugas">René Dugas</a>: A History of Mechanics. (Englische Ausgabe des französischen Originals von 1955) Dover / New York 1988, S. 145, §6 von Teil 2: The Formation of Classical Mechanics (Torricelli’s Principle).

</li>

<li id="cite_note-PD-4">↑ <a href="#cite_ref-PD_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-PD_4-1">b</a> <a href="Pierre_Duhem" title="Pierre Duhem">Pierre Duhem</a>: Les Origines de la Statique. Tome 2, Paris 1906: S. VII (Préface) u. S. 147 (§11: La tradition d’Albert de Saxe et Galilée. En quoi Galilée a contribué à l’invention du Principe de Torricelli). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/lesoriginesdelas00duhe/page/370/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a>.

</li>

<li id="cite_note-JLL-5">↑ <a href="#cite_ref-JLL_5-0">a</a> <a href="#cite_ref-JLL_5-1">b</a> Sur les différents principes de la Statique. In: <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">J. L. Lagrange</a>: Mécanique Analytique. Nouvelle Édition, 2. Auflage.Tome Premier, Première Partie. Paris 1815, § 16, S. 21; <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/dli.granth.111779/page/16/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a>. Und das vor der Newtonschen Formulierung der <a href="Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a>. Zur dynamischen Erweiterung nach Huygens siehe ebd., Tome Premie, Seconde Partie, S. 218 (Sur les différents principes de la Dynamique).

</li>

<li id="cite_note-GG-6">↑ <a href="#cite_ref-GG_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-GG_6-1">b</a> <a href="#cite_ref-GG_6-2">c</a> <a href="Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a>: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Deutsche Übersetzung des italienischen Originals (Discorsi e dimostrazioni matematiche, Leiden 1638). Hrsg.: A. v Oettingen. Leipzig 1891, S. 27–30; (<a href="Ostwalds_Klassiker_der_exakten_Wissenschaften" title="Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften">Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften</a>, Band Nr. 24); <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bub_gb_Re44AAAAMAAJ/mode/1up">archive.org</a>.

</li>

<li id="cite_note-ET-7">↑ <a href="#cite_ref-ET_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-ET_7-1">b</a> <a href="Evangelista_Torricelli" title="Evangelista Torricelli">Evangelista Torricelli</a>: De motu gravium naturaliter descendentium, et proiectorum. Erstveröffentlichung in: E. Torricelli: Opera Geometrica (1644). Neu erschienen in G. Loria, G. Vassura (Hrsg.): Opere di Evangelista Torricelli. Vol. 2. Faenza 1919 (die hier relevanten Seiten der Prämisse und Proposition 1 sind die S. 104–106)

</li>

<li id="cite_note-EM-11"><a href="#cite_ref-EM_11-0">↑</a> <a href="Ernst_Mach" title="Ernst Mach">Ernst Mach</a>: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Historisch –kritisch dargestellt. Dritte Auflage. Brockhaus, Leipzig 1897, S. 50. Kap. 1, §4 (Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen); <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bub_gb_tYumOJPD7n8C/page/50/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a>.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> G. F. Leneaux, V.N. Vagliente, G.H. Wagener (Hrsg.) Translator’s Introduction to Pierre Duhem‘s The Origins of Statics. Kluwer, Dordrecht / Boston / London 1991, S. xix–xxxv, insbes. hier S. xxxii f.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Galileo Galilei: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Nach der deutschen Übersetzung des italienischen Originals (Discorsi e dimostrazioni matematiche, Leiden 1638). Hrsg.: A. v Oettingen. Leipzig 1891. <a href="Ostwalds_Klassiker_der_exakten_Wissenschaften" title="Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften">Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften</a>, Band Nr. 24, Seite 28 des Scholium zu Proposition II. (siehe Link im vorhergehenden Einzelnachweis zu Galilei), teilweise noch verglichen mit der französischen Übersetzung aus: E. Jouguet: Lectures de Mécanique. Paris 1908, S. 103 (Hervorhebungen ergänzt).

</li>

<li id="cite_note-DC-15"><a href="#cite_ref-DC_15-0">↑</a> Danilo Capecchi: History of Virtual Work Laws. A History of Mechanical Prospective. Mailand / Heidelberg / New York 2012, S. 135 ff., Kap. 6 (Torricelli’s Principle)

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> De Motu Gravium Naturaliter Descendentium et proiectorum (1644), S. 105 des Einzelnachweises zu E. Torricelli. Der lateinische Originaltext lautet: „Duo gravia simul coniuncta ex se moveri non posse, nisi centrum commune gravitatis ipsorum descendat“.

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Christiaan Huygens: Holorogium Oscillatorium (1673), Pars Quarta (De Centro Oscillationis). In: Oeuvres Complètes. t. XVIII, S. 247. Der lateinische Text im Original lautet: „Si pondera quotlibet, vi gravitatis suae, moveri incipiant; non posse centrum gravitatis ex ipsis compositae altius, quam ubi incipiente motu reperiebatur, ascendere.“

</li>

<li id="cite_note-ED-20"><a href="#cite_ref-ED_20-0">↑</a> <a href="Eduard_Jan_Dijksterhuis" title="Eduard Jan Dijksterhuis">E.J. Dijksterhuis</a>: Die Mechanisierung des Weltbildes. Berlin / Heidelberg / New York 1983, S. 141 f. (Nachdruck der Erstausgabe von 1956). Kapitel IV:141b (Die dynamische Erweiterung des Axioms von Torricelli).

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-16" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Torricelli-Prinzip&oldid=262462151">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>